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沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

2020-03-03  零壹貳012

    《易·系辭》中說:“上古結繩而治,后世圣人易之以書契”,說明古人結繩和契刻的方式記數和記事。西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形及一些復雜的幾何圖形,同時期人們創造了畫圓和畫方的工具規和工具矩,中國的數學可以追溯到5000到6000年前。

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    半坡陶符光影圖

    然而,很多人認為中國的古代數學其實不是數學,最多被稱為算術或者算學,不同于西方以古希臘為代表的基于邏輯推理下的數學。比如:勾股定理,無論是有記載或者沒記載的,雖然中國對其發現早于西方幾百年,但長時間的知其然,不知其所以然。我們對其證明要晚于西方數學界,直到現在西方數學也稱該定理為“畢達哥拉斯定理”,畢竟人家是有記錄的第一個把勾股定理給予證明的!

    事實上,中國的數學并不是不堪一擊,我們今天講的球的體積公式,確實是由中國人一板一眼的推出來的!并且推導過程均是勝在取巧,本文將出現的三個關鍵詞:《九章算術》,劉徽,祖暅!讓我們一起來領略古代數學的魅力!

    一、《九章算術》

    《九章算術》,作者不詳,經西漢的張蒼、耿壽昌等人刪補而成,在唐宋兩代,它是朝廷明令要求的官方數學教科書,也就是說雖然高考不考,但是也算是必修課程。

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    《九章算術》的“少廣”章主要解決兩個問題,“開方術”和“開立方術”,該章的第二十四問:“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何?”也就是問:“已知體積是1644866437500尺的球,求這個球的直徑是多少?”

    具體方法在“開立圓術”這樣說道:“置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。”意思是說:“把體積乘以16,再除以9,然后開立方,就得到球的直徑了。”

    更直白的說,《九章》認為正方體的體積和它的內切球的體積之比是:16:9。用現代數學的觀點來看,顯然不精確,但是在當時已經是非常了不得了。那么,這個16:9是如何來的呢?這里要引入古代數學中常見的兩個名詞:“方”和“圓”,一個正方形和一個圓形。現在我們知道正方形和它的內切圓的面積之比是4:π,由于古代《周髀算經》對圓周率有“徑一周三”的記載,故圓周率取3,就得到了“方”和“圓”的面積之比是4:3。

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    最后,把圓柱體視為“方”,把球體視為“圓”,由于“方”:“圓”=4:3,所以得到這個兩個公式:正方體:圓柱=4:3;圓柱:球=4:3。所以正方體:球=16:9。

    雖然不是很精確,但也不得不佩服古人的智慧,古人用圓柱作為過渡量,而不是粗暴的將“方”“圓”做比例。

    二、劉徽

    劉徽,魏晉時期偉大數學家。著有《九章算術注》和《海島算經》。

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    就在他為《九章》做注的時候,發現上述推理過程中的錯誤,即“圓柱:球=4:3”是錯誤的。我們可以把原公式中的3還原成π,那么得到“圓柱:球=4:π”。現在不妨用現在數學知識進行推導,設球半徑是r,圓柱的高是2r,則圓柱體積=2πr3,而球體積=4/3πr3,二者之比=3:2。確實是問題比較大。

    發現問題,就要解決問題。如何能正確得到球的體積公式呢?正所謂“從哪里跌倒,就從哪里爬起來”,我們的劉徽還是從正方體出發。他構思了一個看似奇葩,卻有確實有效的物體,它叫做“牟合方蓋”。

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    這里的“牟”意思是相同。“蓋”意思是傘。“牟合方蓋”就是指兩個面合在一起的兩個相同的方傘。它是由一個正方體出發,先用豎直方向的內切圓柱截正方體,得到一個圓柱體,再用水平方向的圓柱再截一次,兩個圓柱的共同部分所形成的幾何體,就叫做“牟合方蓋”。

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    看似容易的一個方蓋,這一創舉足以讓劉徽名垂青史,雖然劉徽的貢獻還有很多,比如我們都知道圓周率和祖沖之,但殊不知祖沖之計算圓周率的理論支撐是“割圓術”,而“割圓術”的發明者正是劉徽,并且劉徽將圓周率計算到3.14,只不過祖沖之的圓周率更精確罷了。牛頓說:“我之所以比別人看得遠一些,是因為我站在巨人的肩膀上”,此時祖沖之有話說:“巨人肩膀,我們都值得擁有!”

    “牟合方蓋”恰好把正方體的內切求包含在內,并且二者是相切的關系。如果用一個水平面去截方蓋,會得到一個正方形和一個內切圓,二者的面積比例是4:π。從而得到“方蓋”和“球”的體積之比是4:π。現在所有的工作重心落在了如何求出“牟合方蓋”的體積,一旦求出該體積,球的體積瞬間即可攻破!

    此時,劇情出現了轉折,劉徽說:“敢不闕言,以侯能言者。”翻譯過來就是:“我弄不了了,誰行誰上吧!”顯然,就當時的社會情況,你劉徽大神都搞不定,誰能接住這個活啊?至此,球的體積告一段落。讓我們一起等待另一個巨匠的出現!

    三、祖暅

    祖暅[gèng],南北朝時期,祖沖之之子。不得不佩服祖氏一家這優秀的基因,打虎親兄弟,上陣父子兵,爺倆互相學習,共同發展,也是當今社會親子關系的典范!

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    祖暅認為,要想成就一番事業,巨人的肩膀還是要踩的,自己的爸比用了劉徽的“割圓術”,成功的精確的計算了圓周率,榮登數學大神之列,而他將用劉徽大神的“牟合方蓋”,繼續為祖氏家族添光加彩。

    小祖同學知道球的體積就是卡在如何求出“牟合方蓋”體積,而他選擇攻破的恰恰就是這個方蓋的體積。顯然硬算肯定是不靈的,必須要取巧。

    也許在某一年的某一天,祖暅在家里閑著無事,看著一些銅錢發呆。他發現:這兩摞銅錢,每摞十個,無論怎么樣擺放,這兩摞銅錢的體積一定是相等的。這么弱智的結論激起了祖暅的好奇心,為什么會這樣呢?

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    原因是它們在任意截面處有相同的面積,所以它們的體積是相等的。在此基礎上,誕生了著名的“祖暅原理”:冪勢既同,則積不容。就是說:如果兩個幾何體在任意截面處的面積都相等,那么這兩個幾何體的體積是相等的!要知道在西方,需要等到一千年后,由意大利數學家卡瓦列利才提出這一原理。

    有了這個原理,就不需要硬求“牟合方蓋”的體積了,只需要找到一個和“牟合方蓋”體積相同的幾何體,這個幾何體需要滿足兩個條件:①簡單易求,②與方蓋滿足“冪勢既同,則積不容”。

    又到了腦洞大開的時間,這個幾何體終于被小祖同學找到了。

    首先,小祖把“牟合方蓋”進行8等分

    我們把它稱之為8個“小方蓋”,切割方法是:俯視方蓋,橫豎兩刀,正視方蓋,橫著來一刀。(如果想象不出來,不妨做一道小學奧數題:如何用三刀把一塊蛋糕分成八塊?)這個時候只一個小方蓋,整個方蓋就搞定了。

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    牟合方蓋被8等分

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    牟合方蓋被8等分后,其中的一塊

    接下來,小祖發現,找到這樣的一個幾何體還是很困難的,再次“取巧”,動用“割補法”

    當我們求不出目標幾何體的體積,試圖把它不成一個規則的幾何體,再減去剩余部分就行了。接下來我們詳細展示一下小祖是如何運用“祖暅原理”求出“小方蓋”的體積的。我們會用到大量的現代數學符號,而當時小祖同學卻沒有這些便利的工具,所以說小祖同學的智力確實是卓越非凡的!

    設球的體積是r,將“小方蓋”放在棱長為r的正方體中,定義:把正方體中除去小方蓋部分稱為“小方蓋剩余”,找到與其“冪勢既同”的幾何體。先計算圖二的陰影,在用正方形的面積減圖二陰影,得到圖一的陰影面積。再構建一個倒放的四棱錐,使得與“小方蓋剩余”符合“祖暅原理”。

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    具體過程:

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    這樣來看圖三的四棱錐的體積與小方蓋剩余的體積必然相等。則:

    沒有微積分之前如何算球體積?中國古代三位數學家真是神一樣存在

    再根據劉徽的體積比例:“方蓋”和“球”的體積之比是4:π,此時可得到球的體積是4/3πr3,這就是世界公認的球體積公式。球的體積公式是由中國人獨立研發,先后經歷三個版本,經過千年測試均可完美運行。更重要的,其推理方法,附屬定理,讓解決其他數學問題變得有章可循!

    經過幾代人的努力,終于使中國數學在世界范圍內留下了光輝燦爛的一筆!

    確實,中國古代數學不同于古希臘數學,是完全的另一套體系,我們的內容多來自生產與實踐,算法程序化和機械化,注重應用。在算法上,我們說第二,就無人敢說第一!比如,十進位制、今有術、盈不足術等等算法,曾經傳到印度和阿拉伯,再由這些國家傳到歐洲乃至全世界,對世界數學的發展起到非常大的促進作用!

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